线性波动方程
我们刚刚通过取位置 y 的偏导数来确定介质在 x 位置的速度。对于横向波，该速度垂直于波的传播方向。 我们通过取速度相对于时间的偏导数得出加速度，这是位置的二阶时间导数：
\[a_{y} (x,t) = \frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial t^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} [A \sin(kx - \omega t + \phi)] = -A \omega^{2} \sin (kx - \omega t + \phi) \ldotp\]
现在考虑相对于另一个变量，即保持时间常数的位置 x 的偏导数。 一阶导数是波在时间 t 处的点 x 处的斜率，
\[slope = \frac{\partial y(x,t)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} [A \sin (kx - \omega t + \phi)] = Ak \cos (kx - \omega t + \phi) \ldotp\]
二阶偏导数表示波浪斜率相对于位置的变化——换句话说，波浪的曲率，其中
\[curvature = \frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} [A \sin (kx - \omega t + \phi)] = -Ak^{2} \sin (kx - \omega t + \phi) \ldotp\]
加速度和曲率之比导致了物理学中一种非常重要的关系，称为线性波动方程。 取比率并使用方程 v =\(\frac{\omega}{k}\) 得出线性波动方程（也简称为波动方程或振动串方程），
\[\begin{split} \frac{\frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial x^{2}}} & = \frac{-A \omega^{2} \sin (kx - \omega t + \phi)}{-Ak^{2} \sin (kx - \omega t + \phi)} \\ & = \frac{\omega^{2}}{k^{2}} = v^{2}, \end{split}\]
\[\frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial t^{2}} \ldotp \label{16.6}\]
方程\ ref {16.6} 是线性波动方程，它是物理学和工程学中最重要的方程之一。 我们在这里得出的是横向波，但在研究纵波时它同样重要。 这种关系也是使用正弦波得出的，但它成功地描述了形式为 y (x, t) = f (x vt) 的任何波浪或脉冲。 这些波浪是由于介质的线性恢复力而产生的，因此被称为线性波动方程。 任何满足此方程的波函数都是线性波函数。
线性波动方程的一个有趣方面是，如果两个波函数是线性波动方程的单独解，那么两个线性波函数的总和也是波动方程的解。 假设两个横向波沿 x 轴传播，占据相同的介质。 假设单个波浪可以使用波函数 y 1 (x, t) = f (x vt) 和 y 2 (x, t) = g (x vt) 进行建模，它们是线性波动方程的解，因此是线性波函数。 波函数的总和就是波浪函数
\[y_{1} (x,t) + y_{2} (x,t) = f(x \mp vt) + g(x \mp vt) \ldotp\]
以线性波动方程为例：
\[\begin{split} \frac{\partial^{2} (f + g)}{\partial x^{2}} & = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} (f + g)}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} & = \frac{1}{v^{2}} \left(\dfrac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial t^{2}}\right) \ldotp \end{split}\]
这表明，如果以代数方式添加两个线性波函数，则生成的波函数也是线性的。 此波函数对生成波浪的介质在 x 轴上每个位置的位移进行建模。 如果两个线性波占据相同的介质，则据说它们会干扰。 如果可以使用线性波函数对这些波浪进行建模，则这些波函数将形成由单个波浪干扰产生的波浪方程。 介质在生成的波浪的每个点的位移是单个波浪引起的位移的代数和。
更进一步，如果波函数 y1 (x, t) = f (x vt) 和 y2 (x, t) = g (x vt) 是线性波动方程的解，那么 Ay 1 (x, t) + By 2 (x, y)（其中 A 和 B 是常数）也是线性波动方程的解。 这个属性被称为叠加原理。 干扰和叠加在《波浪干扰》中有更详细的介绍。
示例\(\PageIndex{2}\): Interference of Waves on a String
假设一根由两个学生拉紧的很长的绳子，两端各一个。 学生 A 振荡弦的末端，产生一个使用波函数 y 1 (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t) 建模的波浪，学生 B 振荡琴弦以两倍的频率产生，朝相反的方向移动。 两个波浪以相同的速度移动 v =\(\frac{\omega}{k}\)。 这两个波浪相互干扰，形成波浪函数为 y R (x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t)。 使用线性波动方程求出生成的波浪的速度\(\frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial t^{2}}\)。
策略
首先，为第二个学生创建的波浪写波函数。 请注意，第二波的角频率是第一波频率的两倍（2\(\omega\)），并且由于两个波浪的速度相同，因此第二波的波数是第一波的两倍（2k）。 接下来，为生成的波函数写出波动方程，即两个独立波函数的总和。 然后找到相对于位置的第二个偏导数和相对于时间的第二个偏导数。 使用线性波动方程求出所生成波浪的速度。
解决方案
写下第二波的波函数：y 2 (x, t) = A sin (2kx + 2\(\omega\) t)。
写下生成的波浪函数：$$y_ {R} (x, t) = y_ {1} (x, t) + y (x, t) = A\ sin (kx-\ omega t) + A\ sin (2kx + 2\ omega t)\ ldotp$$
找到偏导数：$$\ begin {split}\ frac {\ partial y_ {R} (x, t)} {\ partial x} & =-Ak\ cos (kx-\ omega t) + 2Ak\ cos (2kx + 2\ omega t)，\\\ frac {\ partial^ {2} y_ {R} (x, t)} {\ partial x^ {2}} & =-Ak^ {2}\ sin (kx-\ omega t) -4Ak^ {2}\ sin (2kx + 2\ omega t)，\\\ frac {\ partial y_ {R} (x, t)} {\ partial t}& =-A\ omega\ cos (kx-\ omega t) + 2A\ omega\ cos (2kx + 2\ omega t)，\\\ frac {\ partial^ {2} y_ {R} (x, t)} {\ partial t^ {2}\ sin (kx-\ omega t)-4A\ omega^ {2}\ sin (2kx + 2\ omega t)\ ldotp\ end {split} $$
使用波动方程求出生成的波浪的速度：$$\ begin {split}\ frac {\ partial^ {2} y (x, t)} {\ partial x^ {2}} {\ partial t^ {2}} {\ partial t^ {2}}，\\-Ak^ {2}\ sin (kx-\ omega t) + 4Ak^ {2}\ sin (2kx + 2\ omega t) & =\ frac {1} {v^ {2}}\ 左 (-A\ omega^ {2}\ sin (kx-\\omega t) -4A\ omega^ {2}\ sin（2kx + 2\ omega t）\ 右），\\ k^ {2}\ 左（-A\ sin（kx-\ omega t）+ 4A\ sin（2kx + 2\ omega^ {2}} {v^ {2}}\ 左（-A\ sin (kx-\ omega t) -4A\ sin (2kx + 2\ omega t)\ 右)，\\ k^ {2} & =\ frac {\ omega^ {2}} {v^ {2}}，\\ |v| & =\ frac {\ omega} {k}\ ldotp\end {split} $$
意义
生成的波浪的速度等于原始波浪的速度\(\left(v = \frac{\omega}{k}\right)\)。 我们将在下一节中说明，弦上简单谐波的速度取决于弦中的张力和琴弦每长度的质量。 出于这个原因，分量波以及由此产生的波都以相同的速度传播也就不足为奇了。
练习 16.4
波动方程\(\frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial t^{2}}\)适用于任何形式为 y (x, t) = f (x vt) 的波浪。 在上一节中，我们说过余弦函数也可以用于对简单的谐波机械波进行建模。 检查波浪是否
\[y(x,t) = (0.50\; m) \cos (0.20 \pi\; m^{-1} x - 4.00 \pi s^{-1} t + \frac{\pi}{10})\]
是波动方程的解。
任何符合波动方程的干扰都可以作为沿着 x 轴移动的波浪传播，波速为 v。它同样适用于弦上的波浪、声波和电磁波。 这个方程非常有用。 例如，它可以用来显示电磁波以光速移动。